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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 2 - Límite y continuidad

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2.8. Calcular los límites indicados, para xx tendiendo a infinito.
c) lim⁡x→+∞x5−x6+x\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{5}-x^{6}+\sqrt{x}

Respuesta

Atenti acá gente, porque se que a veces estas expresiones al principio traen dudas... hasta que lo muestran y ves que es re fácil en realidad. Acá nos piden calcular este límite:

lim⁡x→+∞x5−x6+x \lim _{x \rightarrow +\infty} x^5 - x^6 + \sqrt{x}

Cuando xx sea muuuuy grande, o sea, tienda a infinito (más o menos infinito, vale para ambos) el término con el exponente más alto es el que dominará el comportamiento de la función en el infinito!

En este caso, cuando x x tiende a +∞ +\infty , el término −x6 -x^6 crece mucho más rápido que los otros dos términos y por lo tanto será el término dominante. A su lado, x5 x^5 y x \sqrt{x} se vuelven insignificantes y los podemos ignorar. Entonces, si querés, imaginate que al tomar límite reemplazas ese +∞+\infty adentro del −x6- x^6 nomás, te quedaría algo así −(+∞)6=−∞-(+\infty)^6 = -\infty
Por lo tanto: lim⁡x→+∞x5−x6+x=−∞ \lim _{x \rightarrow +\infty} x^5 - x^6 + \sqrt{x} = -\infty

Aclaración: Esto lo podrías justificar de una manera mucho más formal sacando factor "el que manda", es decir x6x^6. Si hacés eso y tomás límite, vas a ver que llegás al mismo resultado.
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Ariel
7 de octubre 1:23
como va! para hacer el factor común 1ro debemos sufrir con la multiplicación del conjugado? o directamente a la expresión que nos dan, gracias 
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Flor
PROFE
7 de octubre 10:49
@Ariel Hola Ariel! Jajaj nooo, nada de sufrir 😅 Me refiero a esto, vos tenés:

lim⁡x→+∞x5−x6+x\lim _{x \rightarrow +\infty} x^5 - x^6 + \sqrt{x}

que también lo podrías escribir así:

lim⁡x→+∞−x6+x5+x1/2\lim _{x \rightarrow +\infty} - x^6 + x^5 + x^{1/2}

Entonces ahora saco factor común la potencia de xx que manda, que sería x6x^6

lim⁡x→+∞x6⋅(−1+x5x6+x1/2x6)\lim _{x \rightarrow +\infty} x^6 \cdot (-1 + \frac{x^5}{x^6} + \frac{x^{1/2}}{x^6})

lim⁡x→+∞x6⋅(−1+1x+1x11/2)\lim _{x \rightarrow +\infty} x^6 \cdot (-1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{11/2}})

Y cuando tomamos límite nos da −∞-\infty (fijate que el paréntesis tiende a -1, entonces por regla de signos te queda (+∞)⋅(−1)=−∞(+\infty) \cdot (-1) = -\infty

Aclaración por las dudas, cuando te queda x1/2x6\frac{x^{1/2}}{x^6}, ahí usamos regla de potencias, restamos los exponentes: 

x1/2x6=x−11/2=1x11/2\frac{x^{1/2}}{x^6} = x^{-11/2} = \frac{1}{x^{11/2}}

Avisame si ahí quedó más claro!
0 Responder
Ariel
7 de octubre 22:52
@Flor perfecto! tenía la duda pero es como pensaba! gracias flor!
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